交互 1: 欢迎来到 $F_q^2$ (像素宇宙)
想象我不是生活在无限的宇宙中，而是被困在了一个 $q \times q$ 的“像素”世界里。在这个世界里， $q$ 是一个素数（比如 7）。
这个世界 $F_q^2$ 很奇特：当我走到右边界 $(q-1, y)$ 再向右一步，我会“回绕”到 $(0, y)$。就像在经典游戏《吃豆人》里一样。下面是一个 $q=7$ 的宇宙。试试拖动滑块改变宇宙的大小 $q$。
宇宙大小: 7 x 7 = 49 格
悬停坐标: ( , )
这个 $F_q^2$ 就是“有限域”。它的奇特之处在于它的“线”。一条“线”的定义和我们熟悉的一样： $y = mx + c$，但所有计算都要“模 $q$” (mod q)，也就是只取除以 $q$ 的余数。
这意味着“线”也会“回绕”。在 $q=7$ 的世界里，一条斜率 $m=1$ 的线 $(0,0), (1,1), \dots, (6,6)$ 会“回绕”到 $(7 \equiv 0, 7 \equiv 0)$。这个宇宙里有多少种“方向”（斜率）呢？
斜率 $m$ 可以是 $0, 1, \dots, q-1$ (共 $q$ 种)，再加上一个“垂直”方向（斜率 $m=\infty$）。总共有 $q+1$ 个方向。例如，当 $q=7$ 时，有 $7+1=8$ 个方向。
交互 2: Kakeya 集 (寻找“针”)
Kakeya 问题问：我需要最少多少个“像素格” (Kakeya 集 $K$)，才能让我的“针”（一条长度为 $q$ 的线段）在每个方向上都能“完整地”待在 $K$ 里？
在这个“回绕”的宇宙里，问题简化为：我需要最少多少个格子，才能使我的集合 $K$ 在 $q+1$ 个方向上，每个方向都至少包含一条完整的线？
试试看： 在下面的格子里“涂色”，目标是用最少的格子，让“已覆盖方向”达到 $q+1$。
宇宙大小: 7 x 7
总方向数: 8
已覆盖方向: 0 / 8
已涂色格子: 0 / 49
你可能发现这很难！你涂了 $10\%$ 的格子，可能只覆盖了 $0$ 个方向。在 $q$ 很大时，一个“随机”集合基本不可能包含任何一条完整的线。
然而，数学家已经证明了 $F_q^2$ 中 Kakeya 集的大小 $C_{6.1}^{K}(2,q)$（即最少格子数）大约是：
$$ C_{6.1}^{K}(2,q) = \frac{q(q+1)}{2} + \dots \approx \frac{1}{2}q^2 $$这很惊人！我们只需要“一半”的宇宙，就能让每个方向都包含一条完整的线。（“显示最优解”按钮展示的就是这个构造）。这是个“稠密”集。
图示 1: AI 如何“思考”数学？
面对 Kakeya 这样的难题，DeepMind 的研究人员构建了一个“AI 探索流水线”。它不是一个“全能”AI，而是一个协同工作的“专家团队”。
1. AlphaEvolve (探索者): 它的工作是“进化”出能解决问题的“小程序”。在 Kakeya 问题中，它会“尝试”数百万种不同的“格子组合”程序，目标是找到一个程序，它生成的集合 $K$ 能用“最少的格子”覆盖“最多的方向”。
2. DeepThink (理论家): 当 AlphaEvolve 找到一个“看起来很棒”的程序时，它被交给 DeepThink。DeepThink 会分析这个程序，并“猜测”出其背后的“数学公式”。例如，它会说：“这个程序生成的集合大小 $C(q)$ 似乎是 $\frac{1}{2}q^2 + \frac{1}{2}q$。”
3. AlphaProof / 人类专家: DeepThink 的“猜想”需要被“证明”。如果猜想的证明“足够简单”，AlphaProof (一个形式化验证器)会尝试将其转换为“绝对正确”的 Lean 证明。如果证明“太难了”（比如涉及椭圆曲线！），它就会被交给“人类专家”（如陶哲轩）来“手动验证”和“改进”。
交互 3: Nikodym 集 (更强的“星网”)
Nikodym 集 $N$ 是一个近亲，但要求更“苛刻”。
它要求：对于宇宙中的每一个点 $x$（无论 $x$ 是否在 $N$ 中），都必须存在一条穿过 $x$ 的线 $L$，这条线（除了 $x$ 点本身）几乎完全包含在 $N$ 中。
试试看： 点击“加载 Nikodym 集”。这个集合看起来“几乎”是满的。然后点击宇宙中“任意”一个格子 $x$ (白色或紫色都行)，我将高亮那条满足条件的线。
宇宙大小: 9 x 9 = 81
选中点 $x$: ( , )
Nikodym 集大小 $N$: ...
Kakeya 集 $K$ 和 Nikodym 集 $N$ 的大小截然不同。Kakeya 只需要 $\approx \frac{1}{2}q^2$ (一半) 的格子。
但 Nikodym 集 $N$ 必须“几乎”是整个宇宙！人们猜想它的大小 $C_{6.1}^{N}(d,q)$ 应该是 $q^d - o(q^d)$ (即 $q^d$ 减去一个低阶项)。
当 $q$ 是一个“完全平方数”时 (如 $q=9=3^2$)，我们知道一个更好的界：
$$ C_{6.1}^{N}(2,q) \le q^2 - q^{3/2} + O(q \log q) $$在 $q=9$ 时， $q^2 = 81$， $q^{3/2} = 27$。这个集合的大小 $\le 81 - 27 = 54$，它“空”了 $1/3$ 的宇宙，但仍然满足苛刻的 Nikodym 条件！这就是 AI 在“专家提示”下才找到的构造。
技术附录：深入公式
前面的可视化主要集中在 $d=2$ 的情况。DeepMind 的论文探索了更高维度 $d$ 以及 AI 在其中发现的“深度数论结构”。
1. Kakeya 集 (d > 2)
在更高维度 $d$，$F_q^d$ 中的 Kakeya 集大小 $C_K$ 已知大约是 $q^d$ 的一个“常数比例”：
AlphaEvolve 的“新发现”是改进了这个 $O(q^{d-1})$ 的“低阶项”。例如，在 $d=3$，AlphaEvolve 找到了一个新构造，证明了（对于 $p \equiv 1 \pmod 4$ 的素数）：
这“轻微改进”了先前已知的 $\frac{1}{4}p^{3} + \frac{7}{8}p^{2} + O(p)$。这个构造涉及“二次剩余”，这是一个深刻的数论概念。
2. 撞见“椭圆曲线”
在 $d=4$ 时，AlphaEvolve 提出了一个构造，DeepThink 在分析其证明时，揭示了它与“椭圆曲线”的联系。这导致其误差项表现为 $O(p^{3/2})$ 而不是 $O(p)$。这是一个令人震惊的发现，表明 AI 独立地找到了具有“深刻数论结构”的对象。这个证明“太难了”，以至于 AlphaProof“无法处理”，必须由人类专家“手动接管”。
3. Nikodym 集 (人机协作)
对于 Nikodym 集，AI 的“首次尝试”很复杂 (使用了“高阶曲面”)。人类专家（陶哲轩）看懂了 AI 的“思路”，并用“更简单”的人类工具（“低阶曲面”+“概率”）“改进”了它，取得了“超越”AI 和“超越”先前人类纪录的新成果。AI 在这里扮演了“极好的跳板”(great jumping-off point)。
4. “专家指导”的重要性
论文强调，AI 并非“黑盒先知”。当“不带提示”地解决 $C_{6.1}^{N}(2,q)$ 问题时，AI 只能找到“还行”的答案。但当研究人员给它一个“微小提示”（告诉它“一个大小为 $q^2 - q^{3/2}$ 的构造是可能的”）时，AlphaEvolve“立即”找到了正确的方向并复现了人类的最佳构造。这证明了 AI 作为“强大放大器”与人类专家协同的巨大潜力。